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Graph Neural Networks' Brief History

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Intro.

이번 포스트에선 Graph Neural Networks(GNNs) 분야의 히스토리에 대해 살짝 정리하는 글을 남기고자 한다.

사실 Graph Convolutional Network(GCN)을 구현해보려 하다가, 문득 이것이 어떤 과정을 거쳐 발전되어 왔는지가 궁금해졌기 때문이다.

어떤 방법론을 공부하기 전에 그것이 발전되어 온 계보-전체적인 히스토리를 함께 이해하는 것은 도움도 되고, 창작자들이 어떤 문제를 돌파하기 위해 또는 어떤 생각으로 이 분야를 발전시켜 왔는지 답습해보는 일이 꽤 재미있기도 하다.

Graph Neural Networks

그래프 신경망(Graph Neural Networks; 이하 GNNs)은 RNN, LSTM, GRU, CNN 같이 특정 모델 및 아키텍쳐를 지칭하는 용어가 아니라, 그래프(또는 네트워크) 구조를 지닌 graph-structured data에 적용하는 것을 목적에 두고 디자인된 모든 신경망 모델들을 총칭해 부르는 용어이자, 하나의 커다란 분야인 것이다.

GNNs는 지금도 활발한 연구와 관련 모델들이 쏟아져 나오고 있으며, Zhou J. et al.(2020)의 GNNs에 대한 review paper에 따르면, 수년간의 세월동안 이뤄진 GNNs 발전형태는 이렇게나 다양하다.

pngZhou J. et al. Source: Graph Neural Networks: A Review of Methods and Applications.

지금 여기서 이 모든 아키텍쳐들을 다 살펴볼 것은 물론 아니다. 대신 굵직한 것들만 대략적으로 살펴보자.

1990s: Recursive Neural Network

GNNs의 계보를 이야기할 때, 종종 1990년대 말의 Recursive Neural Network(RvNN; 재귀 신경망)에 대해 이야기하며 운을 땐다.

Recursive Neural Network는 RNN 이라고도 부르기도 하는데, 주로 언어 모델에서 사용하는 Recurrent Neural Network의 약어와 혼동이 있을 수 있어서 RvNN으로 부르는게 (개인적으로) 더 적절해 보인다. - 두 모델은 서로 다른 모델이다.

RvNN은 주로 트리구조 데이터(tree-structured data)를 처리하는 데 사용되며, 각 노드는 자식노드들의 정보($h_c$)를 재귀적으로 결합(aggregate)하여 상위 부모노드를 어떻게 표현할지($h_p$) 결정하는 데 활용하게 된다. 이러한 과정을 수식으로 표현한 예를 들자면, 아래와 같은 것이다.

\[\begin{equation} h_p = \tanh{\left(W\left[h_{c1}, h_{c_2}\right]+b\right)} \end{equation}\]

예컨대, RvNN은 자연어처리(NLP) 분야에서 사용할 수 있는 아주 기초적인 모델 중 하나인데, 한 문장(여기서, “That movie was cool”)의 parse tree(구문 트리)를 아래와 같이 만들고,

pngExample of sentence’s parse tree. Source: GeeksforGeeks

Leaf Nodes(자식이 없는 노드; 가장 말단의 노드들)에서부터 Root Node까지 앞서 언급한 결합 함수식을 활용하여 상향식(bottom-up)으로, 그리고 Root Node에 도달할 때까지 재귀적(recursive)으로, 부모노드들의 (수학적) 표현들을 도출하는 것이다.

문장의 parse tree (구문 트리)는 파이썬 NLTK 등과 자연어처리 라이브러리를 써서 구현할 수 있다.

이후, 만약 문장의 감정 상태를 분석하는 모델을 만들고 싶다면, 특정 감정 상태(기쁨, 화남, 중립)에 대응하는 출력 레이블 값과 모델의 출력값 사이의 loss를 줄이는 방향으로 가중치 $W$ 값(앞선 식의 그 $W$ 맞음)을 업데이트함으로써 모델을 학습시키는 것이다.

이렇듯 RvNN은 트리 구조 및 상향-단방향식으로 정보들을 결합시켜 나간다는 측면에서 일종의 Directed Acyclic(유향 비순환; 비순환: 연결구조에서 동일한 노드로 다시 돌아올 수 있는 싸이클 구조가 없다는 의미)한 Graph model 이고, 그렇기 때문에 GNNs 분야의 시작으로 언급되기도 하는 것이다.

RvNN References

  1. Sperduti, Alessandro, and Antonina Starita. “Supervised neural networks for the classification of structures.” IEEE transactions on neural networks 8.3 (1997): 714-735.
  2. Frasconi, Paolo, Marco Gori, and Alessandro Sperduti. “A general framework for adaptive processing of data structures.” IEEE transactions on Neural Networks 9.5 (1998): 768-786.

In 1998, CNN: New era of Deep Learning

GNNs 발전의 중요한 지렛대가 된 계기로서, Convolutional Neural Network (CNN; 합성곱 신경망) 이야기를 안하고 넘어갈 수 없다. CNN 모델과 그의 방법론은 GNNs 분야의 발전 뿐 아니라 DL/ML 전체 판도에 가속을 불어넣었기 때문이다.

합성곱 신경망에 대한 자세한 설명은 다른 포스트에서 다룰 예정이기에, 간단하게만 설명하자면, CNN 모델은 주로 이미지 데이터(like raster data, pixel data, grid data)를 입력받아 출력 레이블 값과의 복잡한 비선형적 관계를 표현하는데 아주 효과적인 모델이다. ‘AI의 대부’ 또는 ‘딥러닝의 대부’라 불리는 얀 르쿤(Yann LeCun)의 LeCun et al. 1998에서 합성곱 신경망(CNN) 구조 학습법이 처음 소개되었다.

‘AI의 대부’ 또는 ‘딥러닝의 대부’라 불리는 대표적 3인은 얀 르쿤(Yann LeCun; 현 Meta 수석 AI Scientist 및 부사장) 요슈아 벤지오(Yoshua Bengio; 현 몬트리올 대학 컴퓨터과학과 교수), 제프리 힌튼(Geoffrey Hinton; 현 토론토 대학 컴퓨터과학과 교수)이다.

제프리 힌튼 교수는 13년 3월부터 23년 5월까지 10년간 근무하던 구글(Google)을 퇴사했다. 앞으로 대중과 학계에게 AI의 위험성에 대해 자유롭게 말하고 싶다는 연유로. 심지어 그는 딥러닝 연구에 대한 그의 지난 업적들을 후회한다고 말했다고 한다. 참고: 뉴욕타임즈 기사

여기서 CNN이 GNNs 분야 발전에 영향을 준 아이디어 요소는 대상(이미지)의 국소적 영역을 처리하는 필터를 사용하여 지역적인 주요 특징을 추출한다는 것과 이들을 종합하여 더욱 함축된 표현으로 높은 수준의 해석이 가능하다는 것이다.

하지만 앞서 이야기했듯이 CNN 모델은 기본적으로 이미지(2D grids)나 텍스트(1D sequences)와 같은 Euclidean data에 특화되어 있다. Euclidean data란 것은 쉽게 말하자면, 우리가 직관적으로 이해할 수 있는 1/2 차원 공간 상에 정의된 일련의 데이터들을 의미하고, 더 자세히는 각 데이터 포인트가 기술 가능한 고정된 위치와 규칙적인 간격을 가지고 있는 일련의 데이터들을 말한다.

그렇지만, 노드 & 링크, 버텍스 & 엣지라는 구성 요소들이 서로 간에 맺고 있는 연결 관계에 중점을 두고 대상을 표현하는 그래프(Graph)라는 것은 정해진 위치나 순서, 간격이 없는 추상적인 non-euclidean 개체이기 때문에 CNN의 필터 스캐닝같은 개념이 처음 소개되었을 때, 바로 적용하기 어려운 실정이었다.

pngSource: Zhou, Jie, et al. (2020) “Graph neural networks: A review of methods and applications.”

결국 1998년 CNN 모델의 등장 이후 딥러닝의 대부라 불리는 “얀 르쿤, 요슈아 벤지오, 제프리 힌튼(2015)“이 딥러닝이라는 새로운 시대의 서막을 알린 2010년 초 무렵까지, 비유클리드 범주(Non-euclidean domain)에 속하는 Graph를 어떻게 표현해야 하고, 이러한 데이터들을 입력받아야 하는 신경망 아키텍쳐는 또 어떻게 설계해야하는지 같은 문제들의 해결 방법이 제대로 정립되지 않은 채 GNNs 분야의 긴 공백기가 이어졌다.

2010s: Golden era for the advancement of GNNs

그래프(Graph) 데이터와 신경망 딥러닝 학습 사이에 존재하는 본질적인 문제는 결국 “비유클리드 데이터를 어떻게 표현해야 하는지”에 있었다. 비유클리드라함은 1/2차원과 같은 직관적인 이해가 가능한 유클리드 공간을 넘어서 보다 복잡하고 고차원의 (그래서 표현이 어려운, 그래서 이해가 어렵기에 ‘추상적이다’라고 퉁쳐서 말하는) 공간을 일컫는다. 다시 말해 “비유클리드 데이터를 어떻게 표현해야 하는지”의 문제는 곧 “우리가 기술가능한 표현 형태 및 차원으로 어떻게 전환시킬지”에 대한 문제이며, 이러한 시도와 적용 가능한 다양한 방법들을 “임베딩(Embedding)”이라고 하는 것이다.

2010년도 초에 들어서며 그래프(Graph)를 저차원 임베딩 공간으로 변환할 수 있는 획기적인 아이디어들이 제시되기 시작했다. 이 아이디어들은 큰 맥락에서 보면 그래프 구조 데이터를 처리하고 학습하는 방법이지만, 목적과 초점 그리고 범위에 따라 크게 두 가지 분야로 나뉜다. 바로 Graph Representation Learning 분야와 Geometric Deep Learning 분야이다. 이들은 특정 딥러닝 모델 아키텍쳐가 아니라 GNNs과 같이 또 다른 한 분야이자, GNNs의 하위 범주이다.

Geometric Deep Learning 분야는 유클리드 및 비유클리드 공간 포함하는 모든 기하학적 구조의 데이터를 이해하고 학습하는 데에 그 목적이 있다. 다시 말해 그래프(Graph) 뿐 아니라, 포인트 클라우드, 리만 다양체(Riemannian manifold)와 같은 다양한 기하학적 데이터 구조를 처리하는 데 그 초점이 맞춰 있다고 볼 수 있다. 관련한 일련의 모델 및 처리 방법론들에는 PointNet(Qi, Charles R. et al., 2017), PointNet++(Qi, Charles R et al., 2017), UMAP(McInnes et al., 2018), MeshCNN(Hanocka et al., 2019) 들이 있었다. 이렇듯 그래프 뿐 아니라 다양한 기하학적 구조를 지닌 데이터들까지, 모든 비-유클리드 데이터에 대한 Geometric Deep learning 분야의 학술적 노력들은 GNNs 분야의 다양성과 응용 범위를 넓히는 데 중요한 역할을 했다.

포인트 클라우드(Point Cloud) 데이터는 LiDAR(Light Detection and Ranging) 센서, 3D 스캐닝, Stereo Vision 기법 (두 개의 카메라로 찍은 이미지를 비교하여 3D 정보를 추출)에서 얻어지며, 3차원 공간 상의 객체의 형상을 표현하기에 3D 좌표 (x,y,z)를 갖는다. 일반적인 2D 시각적 이미지 정보는 픽셀(또는 raster/grid)이라는 고정된 위치의 정규 격자 구조 속에 저장되는 것에 반해, 포인트 클라우드 데이터 정보는 데이터 포인트들 간의 연결성이나 정규 격자에 담겨 있지 않기 때문에 이들을 모델에 다루기 위해서는 특별한 전처리나 알고리즘이 필요하다.

반면, Graph Representation Learning 분야의 목적은 그래프에서 의미있는 표현을 추출하여 임베딩 벡터로 변환하는 일에 초점이 맞추어져 있다. 그래프에 의미있는 표현은 노드(버텍스), 링크(엣지), 그들의 연결관계에 담겨 있다고 말했었다. 이들을 저차원 벡터로 임베딩하는 일련의 노력들은 노드 임베딩(word embedding(Mikolov et al., 2013), DeepWalk(Perozzi et al., 2014), node2vec(Grover and Leskovec, 2016), LINE(Tang et al., 2015), TADW(Yang et al., 2015)), 그래프 임베딩(graph2vec(Narayanan, Annamalai, et al., 2017), SDNE(Wang, D. et al., 2016))로 (굳이 나누자면) 나눠져서 2010년도 전반에 걸쳐 그래프 구조의 데이터를 처리하는 방법론 정립과 GNNs 분야 발전의 직접적인 동력을 제공했다.

In 2015: Graph Convolutional Network

딥러닝 시대의 시작을 알렸던 CNN 모델의 아이디어를 드디어 Graph 구조 데이터에도 적용할 수 있는 획기적인 진보가 2016년에 소개되었다.

사실 Kipf의 Graph Convolutional Network에 대한 이야기를 더 자세히 파고 들어가면, 아이디어의 근간이 되었던 Spectral Filtering, Laplacian matrix, Eigenvalue decomposition of Laplacian matrix, Fourier Transform 등을 또 다뤄야 하지만 이 글에선 그렇게까지 깊게 다루지 않고 핵심적인 아이디어만 기록하도록 한다.

png“Graph Laplacian부터 Graph Fourier Transform까지”, Source: https://ahjeong.tistory.com/14


CNN 모델에서 핵심적으로 작용했던 아이디어는 ‘고정된 크기의 필터’를 통해 이미지를 스캐닝하면서, ‘인접’한 픽셀끼리 묶인 작은 영역에서의 지역적 정보 또는 국소적 스케일에서의 주요 특징들을 추출한다는 점이다. 이렇게 함축시킨 정보들을 propagation 시키면서 모델의 고도화된 표현을 가능하게 했다.

Kipf가 소개한 Graph Convolution Network(GCN)의 아이디어 또한 이런 CNN의 핵심적인 아이디어를 그래프 구조 데이터에 효과적으로 적용하도록 정립시킨 것이라 할 수 있다.

사실 그래프 구조 데이터에 대한 CNN의 국소적 필터링 과정은 Frequency domain에서 Laplcian matrix와 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 사용하여 그래프의 구조적 특성을 분석할 수 있는 그래프 신호 처리 방식으로 Kipf의 GCN 소개 무렵에 어느정도 정립이 되어 있었다. (아래 레퍼런스 참조)

위 방식들은 이론적으로 매우 견고하고 충분히 활용 가능한 방식이었지만, 무엇보다 Spectral domain에서 고유값을 계산하거나 여기서 사용하는 Chebyshev polynomial (체비쇼프 다항식) 들을 계산하는 과정이 복잡하고 computational cost가 높다는 문제가 있었다.

Kipf는 위 저자들이 사용한 방법에다가 Chebyshev 다항식 근사와 정규화된 라플라시안 활용들을 통해 방법론을 보다 안정적이고 효과적으로 일반화시켰던 것이다. 그렇게 Kipf는 Spectral convolution 방법론을 첨가한 GCN의 Propagation model을 아래와 같은 수식으로 정의하고 소개하게 된다.

\[\begin{equation} \text{H} = \sigma\left(\tilde{\text{D}}^{-\frac{1}{2}}\tilde{\text{A}}\tilde{\text{D}}^{-\frac{1}{2}}\text{X}\text{W}\right) = \sigma\left(\tilde{\text{D}}^{-\frac{1}{2}}\left(\text{A}+\text{I}\right)\tilde{\text{D}}^{-\frac{1}{2}}\text{X}\text{W}\right) \end{equation}\]

여기서 $\tilde{A}$는 그래프의 인접행렬(Adjacency matrix, $A$)에 단위행렬(Identity matrix, $I$)를 더한, 다시 말해 Self-loop를 더한 버전의 Adjacency matrix를 의미한다. $\tilde{D}$는 각 노드의 이웃수(degree)가 diagonal elements로 있는 degree matrix인데, 마찬가지로 self-loop를 더한 버전이 degree matrix이다. 그리고 $\text{X}$는 $N$개의 노드로 구성된 그래프에 대해서 각 노드별 $C$개의 feature로 표현한 정보를 담은 $N \times C$ 행렬이다. $W$는 training parameter 행렬로, CNN 모델의 Filter 역할을 GCN에서 수행한다. 필터의 갯수를 만약 $F$개로 정하면, $W$의 차원은 $C \times F$이 될거라 예상이 가능하다. 결과적으로, 위 수식을 통해 도출되는 행렬의 차원은 $N \times F$, 노드갯수 * 필터갯수, 임을 알 수 있고 비선형 활성화함수($\sigma$) 연산까지 거쳐서 나온 최종 결과인 $\text{H}$ 행렬은 GCN 모델에서의 feature map이자 single convolution layer의 Output이 된다.

왜 self-loop를 포함한 버전의 degree matrix 와 adjacency matrix를 쓰냐라고 묻는다면, 다시 Spectral convolution 수식 얘기부터 근사 및 치환까지의 과정을 얘기해야 한다. 간단하게만 말하자면, 수식-근사 및 치환으로 결정된 수식 이후에 등장하는 Kipf의 renormalization trick에서 self-loop degree & adjacency matrix가 등장하게 된다. 그리고 이 renormalization trick을 사용하는 이유는 최종 수식의 결과값을 [0, 1]으로 bound시키기 위함이고, 더 근본적인 이유로는 exploding/vanshing gradients 문제를 완화시킴으로써 계산의 안정성을 도모하기 위함이다.

이제 위 수식을 통해 그래프의 구조 및 특성을 propagation 하는 convolution network을 아래 그림처럼 설계할 수 있게 되었다. 이 그림에는 기본적인 Neural Network(NN) 내에서 전파하는 연산 방식과 Kipf의 Graph Convolutional Network(GCN) 내에서 전파하는 연산 방식이 잘 표현되어 있다.

pngDifference between Neural Network(NN) and GCN. Source: Graph Convolutional Networks (GCN) & Pooling

NN에서는 어떤 단일 입력 뉴런에 최초의 값 하나($x$)가 들어오면, 학습 파라미터인 weight($W_{0}$)와 선형곱을 수행하고, 이후 마지막으로 비선형 활성화함수($\sigma$)를 곱한 output($z_{1}$)을 다음 뉴런 연산의 입력값으로 사용하는 과정이 위 그림에 나타나 있다. GCN에서는 앞서 설명한 하나의 Convolution layer에 대한 수식이 3번 연달아 수행되는 것 뿐이다.

“므야? 왜 그림 속 GCN 수식은 다르게 생겼어?”라는 말이 나올 수 있는데, 이 그림에서 $\hat{A}$는 본질적으로 Normalizaed Adjacency Matrix with self-loop로서, 즉 $\hat{A}=\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\left(A+I\right)\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}$로 그림의 GCN 수식은 앞서 기술한 propagation formula와 동일한 연산을 하는 것이다.

여기까지 왔으니 한번 그래프 구조 데이터에 대해서 Node classification 문제를 푼다고 했을 때, 어떻게 진행될 지 간단한 Propagation model를 만들어보자. 두 개의 Graph Convolution layer 를 구성한다 보고 $N$개의 노드로 구성된 그래프를 학습시킨다고 했을 때, 아래와 같은 Propagation 연산이 이뤄질 거라 생각해볼 수 있다. 이 때 $\text{softmax}$ 함수는 row-wise로(행 단위로 계산) 적용된다.

\[\begin{equation} Z = \text{softmax}\left(\hat{A} * \text{ReLU}\left(\hat{A}XW^{(0)}\right)W^{(1)}\right) \end{equation}\]

결과적으로, 위 식에 따르면, 마지막에 출력되는 $Z$의 차원은 그래프에 존재하는 총 노드갯수 $N$와 최종 Convolution layer에서의 가중치 행렬 $W^{(1)}$이 지닌 차원에 따라 결정된다. 즉, 만약 $W^{(1)}$의 column dimension이 $F$라고 한다면, $F$ 크기(최종 가중치 행렬의 필터 갯수)가 분류(예측)하고자 하는 클래스의 수가 되는 것이다.

위 Node classification 문제의 example 은 Kipf의 GCN 논문 Kipf, T. N., & Welling, M. (2016)에서 다룬 예시를 가져온 것이다.

Conclusion

사실 이번 글을 처음 기획했을 때는 “수식 하나도 안쓰고, 글로만 써야지”라는 다짐과 함께 전체적인 GNNs 분야의 역사적 중요 맥락만 짚으려는 의도였지만,,, 결국 또 이렇게 말이 길어졌다. Kipf의 Graph Convolution Network(GCN) 이후에도 GNNs 분야의 커다란 발전을 가져다 준 GraphSAGE(Hamilton, W., Ying, Z., & Leskovec, J. (2017)), Graph Attention Networks/GAT(Velickovic, Petar, et al. (2017)), MPNN(Gilmer, Justin, et al. (2017)) 등 아직 할 이야기가 많지만, 다른 개별 post로 그 일을 미루도록 하겠다.

일단 아마 다음 글은 Graph Convolution Network(GCN) 모델을 PyTorch 프레임워크로 한번 구현해보고, 그래프/네트워크 데이터의 MNIST라 할 수 있는 자카리 가라데 클럽 데이터(Zachary’s karate club)를 가지고 먼가 해보는 글이 될 듯 하다.

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  1. [Hands-on]Graph Convolutional Network & Message Passing
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